Differential Calculus on h-Deformed Spaces

We construct the rings of generalized differential operators on the ${\bf h}$-deformed vector space of ${\bf gl}$-type. In contrast to the $q$-deformed vector space, where the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of ${\bf h}$-deformed differential operators $\operatorname{Diff}_{{\bf h},\sigma}(n)$ is labeled by a rational function $\sigma$ in $n$ variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system and describe some properties of the rings $\operatorname{Diff}_{{\bf h},\sigma}(n)$

Calcul différentiel sur des espaces h-déformés

The ring Diff_{h}(n) of h-deformed differential operators appears in the theory of reduction algebras. In this thesis, we construct the rings of generalized differential operators on the h-deformed vector spaces of gl-type. In contrast to the q-deformed vector spaces for which the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of h-deformed differential operators Diff_{h,σ}(n) is labeled by a rational function σ in n variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system. We show that the center of Diff_{h,σ}(n) is a ring of polynomials in n variables. We construct an isomorphism between certain localizations of Diff_{h,σ}(n) and the Weyl algebra Wn extended by n indeterminates. We present some conditions for the irreducibility of the finite dimensional Diff_{h,σ}(n)-modules. Finally, we discuss difficulties for finding analogous constructions for the ring Diff_{h}(n,N) formed by several copies of Diff_{h}(n).L'anneau Diff_{h}(n) des opérateurs différentiels h-déformés apparaît dans la théorie des algèbres de réduction.Dans cette thèse, nous construisons les anneaux des opérateurs différentiels généralisés sur les espaces vectoriels h-déformés de type gl. Contrairement aux espaces vectoriels q-déformés pour lequel l'anneau des opérateurs différentiels est unique à isomorphisme près, l'anneau généralisé des opérateurs différentiels h-déformés Diff_{h,σ}(n) est indexée par une fonction rationnelle σ en n variables, solution d'un système dégénéré d'équations aux différences finies. Nous obtenons la solution générale de ce système. Nous montrons que le centre de Diff_{h,σ}(n) est un anneau des polynômes en n variables. Nous construisons un isomorphisme entre des localisations de l'anneau Diff_{h,σ}(n) et de l’algèbre de Weyl Wn étendue par n indéterminés. Nous présentons des conditions irréductibilité des modules de dimension fini de Diff_{h,σ}(n). Finalement, nous discutons des difficultés a trouver les constructions analogues pour l'anneau Diff_{h}(n,N) correspondant à N copies de Diff_{h}(n)

Calcul différentiel sur des espaces h-déformés

L'anneau Diff_{h}(n) des opérateurs différentiels h-déformés apparaît dans la théorie des algèbres de réduction.Dans cette thèse, nous construisons les anneaux des opérateurs différentiels généralisés sur les espaces vectoriels h-déformés de type gl. Contrairement aux espaces vectoriels q-déformés pour lequel l'anneau des opérateurs différentiels est unique à isomorphisme près, l'anneau généralisé des opérateurs différentiels h-déformés Diff_{h,σ}(n) est indexée par une fonction rationnelle σ en n variables, solution d'un système dégénéré d'équations aux différences finies. Nous obtenons la solution générale de ce système. Nous montrons que le centre de Diff_{h,σ}(n) est un anneau des polynômes en n variables. Nous construisons un isomorphisme entre des localisations de l'anneau Diff_{h,σ}(n) et de l’algèbre de Weyl Wn étendue par n indéterminés. Nous présentons des conditions irréductibilité des modules de dimension fini de Diff_{h,σ}(n). Finalement, nous discutons des difficultés a trouver les constructions analogues pour l'anneau Diff_{h}(n,N) correspondant à N copies de Diff_{h}(n).The ring Diff_{h}(n) of h-deformed differential operators appears in the theory of reduction algebras. In this thesis, we construct the rings of generalized differential operators on the h-deformed vector spaces of gl-type. In contrast to the q-deformed vector spaces for which the ring of differential operators is unique up to an isomorphism, the general ring of h-deformed differential operators Diff_{h,σ}(n) is labeled by a rational function σ in n variables, satisfying an over-determined system of finite-difference equations. We obtain the general solution of the system. We show that the center of Diff_{h,σ}(n) is a ring of polynomials in n variables. We construct an isomorphism between certain localizations of Diff_{h,σ}(n) and the Weyl algebra Wn extended by n indeterminates. We present some conditions for the irreducibility of the finite dimensional Diff_{h,σ}(n)-modules. Finally, we discuss difficulties for finding analogous constructions for the ring Diff_{h}(n,N) formed by several copies of Diff_{h}(n)